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它可以表示成分数吗?答案是否定的
admin 2018-09-14

  序列次要具有于数学与物理学范畴,也涉及无限。以一个元素为根本定义下一个元素的过程,得出了一个序列。若是说,序列最根基的原型是整数数列,我们也能够有偶数数列、质数数列、立方体序列等。这个推导过程是没有终止的,所以序列是无限的。序列的无限特征带来的局限之一是,我们不克不及处理此中所有元素的所有问题。

  虽然无理数的定义涉及无限,今天,我们对 √2 如许的数字仍能够随心所欲地进交运算。我们将这类数字定义为一列无限的有理数极限,或者,若是我们情愿的话,还能将其定义为一个具有无限小数的数。机关无理数的无限性完全被掩盖,而对我们来说,这些数完满是无限的。

  来历 节选自《 从无限起头:科学的迷惑与疆界》,人民邮电出书社,2018.4前往搜狐,查看更多

  最简单的数字是正整数,如 1、2、3……用 N 来暗示正整数调集。对正整数进行减法(与加法相对)运算能够获得负整数 -1、-2、-3……同样,除法(与乘法相对)运算能够获得分数或者有理数,用调集 Q 暗示。所有有理数(也就是分数)能够写成小数的形式。可是,这些小数要么是无限的,好比 5/4 = 1.25, 要么是无限轮回的,好比 1/9 = 0.111111…能否能够设想一个无限但不轮回的小数呢?谜底是必定的。它能够暗示成分数吗?谜底能否定的。这就是无理数。

  所谓的和谐级数,即 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …是发散的。莱昂纳多·欧拉给每一项乘 s 次幂后,给出了一个更广义的类似级数,称之为 ζ 函数(源于希腊字母 zeta)。这就有了

  原始级数合适 s = 1,换句话说,第 n 项的值为 1/n^s。若是s ≤ 1,这个级数是发散的;若是 s > 1,它就是收敛的。欧拉发觉, 级数的第一个意义是它与素数慎密相连。但数学家黎曼进一步思虑, 当 s 变成一个复数(不再是实数)时会发生什么,于是就有了黎曼 ζ 函数,按照分歧的 s 值,级数或收敛或发散。主要的是,一种名为“解析延拓”的数学方式能够付与级数一个值,即便它是发散的。

  数学家和物理学家总想计较一个序列中所有项的无限总和, 于是会用到级数。项的数量是无限的,但计较成果能够是无限的; 如许一来,级数就是“收敛的”,它给出了无限和无限的调集。要确定级数是收敛的并不容易;若是它是收敛的,计较它的值也很难。一个典型的例子是如下级数:S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2^n,很难看出它能否是收敛的。然而,有一种“奇策”能够让我们计较它 的 值 : 构 建 表 达 式 S - 1/2 = 1/4 + 1/8 + … = 1/2(1/2 + 1/4 + …)= S/2;因为等式 S - 1/2 = S/2 成立,其值为解,即 S = 1。这并不表白这一级数是收敛的,但当我们证了然其收敛性后,便能够计较它的值。

  我们可否将一个无限序列视为一个完整的对象?至多某些确实能够。好比,我们曾经看到每一个无理数都能够定义为某种有理数序列,称为“柯西序列”[1]。我们能像运算其他数一样运算无理数,这暗示我们至多能运算某些无限序列。[1] 我们也能够将一个无理数看作其小数的一个无限序列。

  无理数的发觉导致了数学史上第一次危机。其实,在现实使用中,无理数和整数、有理数一样必不成少。然而,无理数的定义、书写表达与无限的概念相关:没有一个无理数能用无限的小数书写。

  莱布尼茨将微积分使用到解答物理学难题中,找到了超越曲线的解,也就长短代数方程的解。这些曲线就像超越数一样是无限的, 莱布尼茨说:“超越量的来历就是无限。”从对超越曲线和无限的研究来看,这些曲线作为某些物理计较的解,恰好印证了一句话:“无限在天然界中无处不在。”简直,数学中四处都有无限的影子。否定无限就得否定 π 和其他无理数:在圆中,在最短的一条线段中,在每个无理数中,都有无限具有。

  这时呈现了另一个雷同问题,与之前的问题略有分歧。对于无论哪个数字,似乎总能够给出一个更大的整数,但人们想找到一个“比所有整数都大的数”。若是这个说法是成心义的,这个数只能是一个无限数。无理数的定义如许一种无限能够称为“序数无限”,与上文提到的 “基数无限”相对。

  一旦起头会商序列,序列极限的问题就来了:序列若是具有极限,它即是一个数;我们在序列中越来越接近这个极限。现实上, 数学家定义了很多种“接近”,而这又催生了一样多的调集与极限概念。若是具有如许一个极限,那么序列会收敛并趋势于这一极限。上文提到过的无理数能够被定义为某些有理数序列的极限。

  在无理数中,还有一些数具有更复杂的特点——“超越数”,它们不克不及满足任一个

  漫长的汗青将数学家们引向了“序数无限大”与“基数无限大”,但数学中的无限还有其他表示形式。我们将在第 3 章讲述无限小和持续性的问题。在此之前,大师该当先认识到,一些有穷数字的运算需要借助无限的概念,好比“无理数”问题,也就是不克不及暗示成两个整数之比的数。

  人们无法设想整数列的尽头,只好试图传播鼓吹“数列是无限的”。 数列似乎是无限的,但这是一种潜无限。我们能描述得更切确一些吗?可否说出所有整数的数量,并计较它们?圣奥古斯丁认为,天主且只要天主才能做到:“神的聪慧可以或许处置所有的无限,不存心算就能够清点无数的生命。”继他之后颠末了漫长的期间,人们“实现”了 这种潜无限:19 世纪,康托尔关于调集的理论和著作终究给无限下了一个定义,或者说,定义了什么是“基数无限”。

  π 就是如许的数,它暗示了圆的周长与直径之比;此外还有天然对数的底数 e = 2.71828…

  要写出一个无理数,需要将它的所有小数枚举出来。然而,这个数列的一个明显特点就是无限性:若是数列是有穷的或是无限轮回的, 就证明这个无理数能够被写成两个整数的比,那么这就该当是一个有理数。无限性的特点只体此刻小数的书写中,可是它申明了一个现实:这些数字简直是一个无限过程的成果。假设我们想确认两个无理数能否相等, 那就必需将两个无理数的小数一位一位地比力——这将是一个无尽头的工作。对无理数的所有运算获得的成果都是无理数。无理数既是有穷的也是无限的,这取决于我们的思虑角度:从长度角度来说,线段是有穷的;但从形成线段的点的数量角度来说,线段又是无限的。

  在公元前 6 世纪,遭到毕达哥拉斯的影响,古希腊数学家们都认为,所有物理或几何的量都是一个整数或是整数的比值,称为“有理数”。很快,他们认识到本人需要用到一些分歧于有理数的数。 好比,我们能够用一个数与其本身相乘,获得它的平方;相反的运算能够获得平方根。可是,没有任何一个有理数是 2 的平方根;然而,边长为 1 的正方形的对角线。同样,为了用栅栏圈起一块 2 平方千米大的正方形场地,你要精确计较场地的周长,计较成果是 4√2 千米,这也是个无理数。一个直角边为 1 米和 2 米的直角三角形的斜边长为√5 米,这也是个无理数。( √5-1)/2 的值被用来定义最美的人体比例。保守上,这是朋分一段长度的最完满的比例,其定义方式是:较长部门与全长的比值等于较短部门与较长部门的比值——同样是个无理数。现实上,所有无理数与某一有理数进行加减乘除运算后获得的仍是无理数。

  级数 1 + 1 + 1 + 1 + …天然是发散的,对应黎曼 ζ 函数值 s = 0; 解析延拓此时为 -1/2。同样,1 + 2 + 3 + 4 + …较着也是发散的,对应黎曼 ζ 函数值 s = -1,也就是 -1/12。如许一来,解析延拓以一种惊人的体例付与了发散级数一个无限值。这并不是把发散级数与无限值相联系的独一方式,而欧拉(1707—1783)是最早考虑这种可能性的数学家之一。(未完待续)